Category: Հանրահաշիվ 9

14. ((10√ 3 – 5 √ 6 ) – ( 3 √ 27 – 4 √ 24 )) x 3 √ 3 =

( 10 √ 3 – 5 √ 6 – 9 √ 3 + 8 √ 6 ) x 3 √ 3 = ( √ 3 + 3 √ 6 ) x 3 √ 3 = 9 + 9 √ 18 = 9 + 27 √ 2

15 . a3 – a2b + ab 2 – b3 / a4 – ab + b2 : a4 – b4 / a3 +b3 = a2 (a-b ) + b2 (a-b) / a2 – ab +b2 x (a +b) ( a2 – ab + b2) / ( a2 ) 2 – ( b2) 2 x (a-b) ( a2 +b2 ) (a +b ) / ( a2 – b2 ) ( a2 + b2)

Քառակուսային ֆուկցիայի գրաֆիկը

y = ax ² + 6x + C

Xo = – b / 2a

գագաթի կորդինատներ – y o = – D / 4a

D = b² – 4ac = 144 – 4 x 9 x 3 = 36

( 2/ 3: -1 )

y = 9 x 2 – 12 x + 3

a = 9

Xo = -12 / 18 = 2/3

yo = D / 4a = -36 / 4 x 9 = -1 x 4 x3

X1 = 12 – 6 / 18 = 6 /18 = 1/3

X₂ = 12 + 6 / 18 = 1

x = 2 / 3 Համաշ․ առան․

Խնդիր 73

y = x ² – 3x + 5

a = 1

D = 9 -4 x 1 x 5 = 9 -20 = -11

Xo = -3 / 2 = 3/ 2

x = 3/ 2 համ ․ առ․

yo = -11 / 4

( 3 / 2 ; – 11 / 4)

բ ) y = x ² + 7x – 8

a =1

D = 49 – 4 x1 x(-8)

D = 49 – ( – 39 ) = 81

Xo = -7 / 2

( -7 / 2 ; – 81 / 4 )

yo = 81 / 4

վարժություն 74

y = X² – 4x + 3

a =1

D = 16 – 4 x 3 x 1 = 4

X1 = 4 +2 / 2 = 3

X2 = 4 – 2 / 2 = 1

Xo = 6 / 2a = – 4 / 2 = 2

yo = D / 4a = -4 \ 4 = -1

(2 ; 1) X = 2 համ․

y = f ( x )

y = f ( X1 – 4 )

y = f ( x ) – 4)

y = -f (x)

y = 7X²

y = 7 (x -3)²

y = 7x² + 3

y = ( x -1)2

y = x ²

y ( x -1 ) ²

y = ( x -1)² +1

Ֆունկցիայի գրաֆիկի ձևափոխության հիմնական մեթոդները

y = 4x

y =(4x -3)²

y = ( 4x +8)²

y = f ( x – e)

y = f(x)

y = f (x + 3)

վարժություն 53

ա ) y = ( x -5 ) ²

y =0

(x -5)² = 0

x-5 = 0

x =5

բ) y = – ( x+8 ) ²

y = 0

(x + 8 ) ² = 0

x + 8 =0

x = – 8

Սերգեյ Մերգելյան

Հայ մաթեմատիկոս Սերգեյ Մերգելյանը ծնվել է 1928 թվականի մայիսի 19-ին: 1949թ. Ս. Մերգելյանի ֆունկցիաների մոտավորության տեսությունը գնահատվել է որպես բացառիկ արժեքավոր հետազոտություն: 1951թ. գիտնականն ապացուցել է բազմանդամային մոտավորության թեորեմը։ «Մերգելյանի թեորեմ» և «Մերգելյանի բազմություններ» արտահայտություններն արժանացել են համընդհանուր ճանաչման և ընդգրկվել մաթեմատիկական գիտությունների գանձարանում։

Ս. Մերգելյանը եղել է ԽՍՀՄ Գիտությունների Ակադեմիայի Ստեկլովի անվան Մաթեմատիկայի ինստիտուտի կոմպլեքս վերլուծության բաժնի հիմնադիրն ու ղեկավարը։ 1956թ. հայ գիտնականը հիմնել է Մաթեմատիկական մեքենաների Երևանի գիտահետազոտական ինստիտուտը: Այդ կերպ սկիզբ է դրվել  Հայաստանում ժամանակակից հաշվողական մեքենաների արտադրության ստեղծմանը։

Շնորհիվ Մերգելյանի տաղանդի Հայաստանն այդ ոլորտում դարձել է ԽՍՀՄ հիմնական կենտրոններից մեկը։ Նա այդ հաստատության առաջին ղեկավարն էր (1956-1960թթ.), և մինչ օրս ինստիտուտը նրա անունով էլ ժողովուրդը կոչում է Մերգելյան ինստիտուտ: ԽՍՀՄ-ի տարիներին արժանացել է Ստալինյան մրցանակի, իսկ ՀՀ նախագահի 2008 թվականի մայիսի 26-ի հրամանագրով արժանացել է Սուրբ Մեսրոպ Մաշտոցի շքանշանի։ Մրցանակը նրան է հանձնվել Լոս Անջելեսում, քանի որ այդ տարիներին նա մշտական բնակության էր տեղափոխվել ԱՄՆ։ 

• Լուդոլֆյան թիվ և նրա կիրառությունը:

Պի թիվ կամ П մաթեմատիկական հաստատուն, որը ցույց է տալիս շրջանագծիերկարության հարաբերությունը տրամագծին։ Նշանակվում է հունական այբուբենի П (պի) տառով։ Հին անվանումը՝ Լուդոլֆյան թիվ։

• GeoGebra Classic ծրագրի միջոցով ֆունկցիայի գրաֆիկների կառուցում և ինտերակտիվ ցուցադրություն

Ֆունկցիայի կառուցման հղումը –

https://www.geogebra.org/m/qzhsrgct

Պատահույթ- P

P = m /n

m- Նպաստավոր ելքերի քանակ։

n – հնարավոր ելքեր։

P = 0/6 =0

P= 3 / 6 – 1/ 2

P = 1

P = 6 / 6=1

Խնդիր 407

m =1

n = 9

ա ) P = 4 / 9

Խնդիր 410

m = 2

n = 19 | P – ?

P = 21 / 12 = 1/ 6

p = 31 / 12 = 1/ 4

բ) m = 3

n= 12 | p =?

Խնդիր 411

բ ) m= 0

n = 63 | p – ?

P = 0 / 63 = 0

գ ) m-1

n = 1 | p-?

P = 1 / 1 =1

Խնդիր 412

ա ) 1 / 20

բ) 1 / 60

գ ) 1 / 120

Ֆակտորիալ

n! = 1 x 2 x 3……… n

S! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5

7 ! = 1 x 2……………… 7

a b c d – 1 2 3 4

a d c b

b a c d

c a b d

d b a c

a b c

a c b

b a c

c a b

P3 =3 ! = 1 x 2 x 3 = 6

P2 = 2 ! = 1 x 2 abc

վարժություն 426

1 2 3

3 2 1

2 1 3

1 3 2

3 1 2

2 3 1

Վարժություն 428

BDK

BKD

DBK

KBD

DKB

KDB

n = 6

Երկրաչափություն

S₄= 2 П r x h

120 П = 2 x П x 10 x h

h = 120 / 2 x 10 = 12 / 2 = 6 սմ

SL = 2 П r ( r + h )

SL = 2 x П x 10 ( 10 + 6 ) – 320 П սմ²

դ ) S₄ = 36 П սմ²

SL = 54 П սմ² | n , r – ?

Sh = Sկ = 54 П – 36 П= 18 П

18 П / 2 = 9 П

П r ² = 9 П

r² = 9 П

r = 3սմ

Թիվը բազմապատկում են % – ով արտահայտող թվով և բաժանում 100 – ի։

Խնդիր 429

Rե = 4 x RL

S = 4 П R ²

SL = 4 П R ²

S ե = 4 П R ²

V = Sh x h

V= a x b x h

V= a x a x a = a³

V = 125 լ = 125 դմ² | a – ?

Պատ․՝ a = 5 դմ

125 = a³

a = 5 դմ

Խնդիր 434

AB = 30 սմ

BC = 40 սմ

A A1 = 60 սմ / V = 32լ = 32դմ ²

V = ab x bc x AA1

V = 30 x 40 x 60 = 72000 դմ ³= 72 դմ³

Vդ = 72 – 32 = 40 դմ³

Vդ / V = 40դմ³ / 72 = 5 / 9

Թեստեր

10 .

p² – q ²= p + q² / ( p + q )²= ( p – q ) ( p + q ) / q² x q x ( p + q ) / ( p + q )² = p – q / q

4 ( x + y )² + ( x – 4y ) ² = ( x² + 2xy +y ²) + ( x² – 8xy 16 y²) = 4 x² + 8 xy + 4 y² + x² – 8xy + 16y ² = 5 x² + 20 y ²

11.

A { -2 ; 3 / 4 ; 4 ; 5 } և B { -3 ; -2 ; 4 ; 5 1 / 3 }

AUB = { -2 ; 3 / 4 ; 4 ; 5 ; -3 ; 3 1 / 3 }

Թվային Ֆունցիայի գաղափարը

E – արժեքներ

F – Ֆունկցիա

f ( x ) = x +2

y = x + 2

y (13) =15

y = 13 x 2

y = 15

K = x +2

որոշման տիրույթ – D ( y )

D ( f ) = { 1 : 2 : 3 : 4 : 13 }

E = ( f ) = { 4 : 5 : 3 : 6 }

Վարժություն 2

y = x

D (y) = ( – inf. ; + inf )

ե ) y = 1 / x

D (y) = ( – inf. ; 0 ) U ( 0 ; + inf.)

վարժություն 4

ա ) y =√x – 1

D (y) = [ 1 ; +∞ )

x – 1 ≽ 0

x ≽ 1

բ) y =√ x + 1

D (y) = [- 1 ; +∞ )

x + 1 ≽ 0

x ≽ -1

դ ) y = x ² – 9 / x² – 4

D (y) = ( -∞ ; -2 ) U ( -2 ; 2) U ( 2 ; + ∞ )

X2 – 4 = 0

X 2 = 4

[ x = 2

[ x =- 2

գ) y √2x – 1

D (y) = [ 1 / 2 ; + ∞ )

2x -1 ≽ 0

2x ≽ 1

x ≽ 1 / 2

ե) y = 1 / √ 3x + 5

√3x + 5 ≠ 0

D (y) = (- 5 / 3 + ∞ )

զ) y = x² + x / x + 4

D (y) = ( – ∞ ; -4 ) U ( -4 ;+ ∞ )

վարժություն 5

բ)

y = 3x + 2

[ – (y) = [ -10 ; 2 ]

գ)

(x) = X ² +1

X∈ [ 0;2]

E (g) = [ 1 ; 5 ]

դ)

g = | x | – 1

X∈ [ -2 ; 2 ]

E (y) = [ -1 ; 1 ]

գ) a1 =- 2

d = 4 | S – ?

Sn = 2a – d (n-1) x n / 2

Sn = 2a + 10 d / 2 x 11 = – 4 + 40 /2 x n

36 x 11 / 2 = 198

վարժություն 369

S = 1 / 2

p x r

an = 2R sin x 180 / n

r = R cos x 180 / n

P = n x an

n = 4

S = 16 / R, r , a4, p -?

S = 1 / 2 P = 1 / 2 x n x an x R cos x 180 / n = 1 / 2 x n x an x an / 2 x sin 180 / n

x cos 180 ^o / n = 1 / 2 x 4 x an x an / 2 x v 2/2 x √ 2 / 2 = an x an = a4 x a4 = a4² = 16

P = n x a4 = 4 x 4 =16

r = R cos 180 / n

r = 2 √ 2 x √ 2 / 2 = 2

R = 4 / √ 2 = 4 √ 2 / 2 = 2 √ 2

R = 3

n = 3 | Z, P, S, a, – ?

a1 = 2 R sin 180/ n

a3 = 2 x 3 x sin 60^o = 2 x 3 = 6 x √ 3 / 2 = 3 √ 3

P = n x an

P = 3 x a3 = 3 x 3 √ 3 = 9 √ 3

r = R cos 180^o / n

r = 3 x cos 60 = 3 x 1 / 2 = 3 / 2

S = 10 / R, r, P, a3

S = 1 / 2 pr

p =n x an

r = R cos 180 / n

R = an / 2 x sin 180 / n

S = 1/ 2 x n an x an / 2 sin 180 / n x cos 180 / n

10 = 1 / 2 x 3 x a 3 /2 √ 3 / 2 x 1 /2

a3 _² = 4 x 10 / √ 3 = 4 x 10 √3

10 = 3 / 4 √3 – a3² / √3

r = R cos 100 / n = 2 √10√ 3 / 3 x 1/ 2 = √10 √3 / 3 x 1/ 2= √ 10 √ 3 /3

P = n x an

P = 3 x 2 √ 10√ 3 / 3 = 6 x √ 10√3 / 3

an = 2R sin 180 / n

2 √ 10 √ 3 \ 3 =6 x √ 10 √ 3 / n

a3 = 3

n = 3 | R -?

an = 2R sin 180 /n

a3 = 2x R x √ 3 / 2

3 = 2 x R x √ 3 /2

R = 3 / 2 x √3 /2 =3 / √ 3 – 8 x √ 3 = √ 3

Երկրաչափական պրոգրեսիա

a1, a2 , a3:………………….

Սահմանում – Երկրաչափական պրոգրեսիայի արտահայտությունը չի կարող դառնալ ∅ :

d = an + 1- an

an = an -1 + an +1 / 2

an = q × an

2 = an + 1 / an

an = √ an – 1 × an + 1

an = a × q

√ x × y

3 √ x × y × z

Վարժություն 378

1 , 3 , 9, 27……………

a1 = 1

a2 = 3

q = a2 / a1 = 3

a5 = a1 × q5 – 1 = ap × q4 = 1 × 3⁴= 81

a1 = a1 × q6 – 1 = a1 × q ^ũ = 1 × 3^ũ = 243

a1 = a1 × q7 -1 = a1 × q6 = 1 × 36 = 729

բ) an = 3 × 5 ^n-1

an = 3 × 5 ¹¹ = 3 × 1 = 3

a2 = 3 × 5 ^2-1 = 15

a3 = 3 × 5 ^3-1 = 75

a4 = 3 × 5 ^4-1 = 375

a5 = 3 × 5 ^5-1 = 1875

Վարժություն 388

ա) 1, 8, 15 , 21, 26 …………. սխալ է

բ) 4, 2, 1, 0, 5, 0,25 ……….. ճիշտ է

գ) -2, 2, -2, 2, -2 …………. ճիշտ է

դ ) 0,4 , 16, 46, 256 …………. սխալ է

վարժություն 389

a1 = 2

q = 0,25

a1 = 2

a2 = a1 × aⁿ¹= 2 × 0,25 _¹ = 0,5

a3 = 2 × 0,25 ³¹ = 2 x 0,25 ² = 0,21

a4 = 2 × 0,25 ⁴¹= 2 × 0,253

Պրիզման կանոնավոր է երբ բոլոր հիմքի կողմերը գնում են հիմքի հարթությանը։

Sլ = Sh +S4

a6 = 2R sin 180 / 6

2 = 2 × R sin 30

r= R × cos 30

2 × √3 / 2 = √ 3

2 = 2 × R 1 / 2

R = 2

S = 1/ 2 × 144 × √ 3 = 72 √ 3սմ ²

Sh =2 × S = 144 √3 սմ ²

խնդիր 400

S= 9 / R – ?

S = ПR_²

R =√S / П = √ 9 / 3,14 = 1,7

R ² = S / П

S = 49 П / R = ?

S = П / R²

R = √ S / П = √ 49 / 3,14 =7

Sn = n x a1

Sn = a1 x (1-q) / 1- q

q= an / an -1

an = a x q ^n-1

an = √ an -1 x an +1

խնդիր 397

a1= 5

q= 2

S5 = ?

Sn = a1 x ( 1 x qn) / 1- q

S5 = 5 x ( 1 – 2 ⁵) / 1- 2

5 x ( – 31) / -1 = 15 մ

վարժություն 397

գ)

q = 1 / 2

a1 = – 2 / S5 = ?

S5 = a1 x (1-qⁿ) / 1- q

S5 = – 2 x ( 1 – ( 1 / 2) ⁵ ) / 1 – 1/2 = -2 x (1- 1/ 32) / 1/2 = 2

31 / 32 : 1 /2 = – 31 / 16 x 2 /1 = – 31 / 8

բ) a1 = 4 q = -3 / S3 -?

Sn = a1 x ( 1- q ⁵ ) / 1-q

S 5 = 4 x ( 1- (-3 ) ⁵ ) = 4 x (1 + 2 43 ) / 244

խնդիր 385

C	25,12	18,84	82	18П	4,396	6,28	637, 42	14,65	2√ 2
R	4	3	13	9	0,7	1	101,5	2, 1/3	0б45

խնդիր 400

S	12,56	78,5	9	0,26	49П	3258,3	9,42	6,25
R	2	5	1,69	2/7	7	54,3	√ 3	1,41

16. 3 (x -0,5) > 4,5

3x – 1,5 > 4,5

3x = 4,5 + 1,5

3x = 6 / 3

x = 2

x = ( 2 ; +∞)

√ x -1 ≤ 3

x ≥ 1

[ 1;10 ]

Խնդիր 23

L BC = 3 √ 3

L BAD = 30_^o

BD = BC / AB -?

h = BC / 2 = 3 √ 3 / 2

HC² = BC ² – h² = 9 x 3 / 1 – 9 x 3 / 4 = 36 x 3 – 27 / 4 = 81 / 4

HC = √ 81 / 4 = 9 / 2

DC = 2 x HC = 2 x 9 / 2 = 18 / 2 = 9 / 1 = 9սմ

AB = 9 սմ

S= h x DC = 3 √ 3 / 2 x 9 = 27 √ 3 / 2 սմ

25

S= BF x AD

9 √ 3 / 2 = BF x 3 / 1 √ 3

BF = 9 սմ

Թեստ 2

S = ABDC = 64 / AB – ?

AB = a √ 64 = 8

V = a x a x a = 8 x 8 x 8 = 512

Թեստ 3

e 20 Π / R -?

R = 20 Π / 2Π

e = 2 Π R

R = 10

Վարժություն 363

a1 + a1a = 120

a2 + a9 = ?

an = a1 + 2

S = a1 + an / 2 : n

Sn = a1 +a1 + d ( n-1 ) / 2 x n = 2a1 + d ( n-1 ) x n / 2

351
ա ) Թվաբանական պրոգրեսիա են անվանում այն թվային հաջորդականությունը որի յուրաքանչյուր անդամ սկսած երկրորդից , հավասար է իր նախորդին՝ գումարած միևնույն հաստատուն թիվը։

բ ) Եթե{an} թվային հաջորդականությունը թվաբանական պրոգրեսիա է ապա գոյություն ունի այսպիսի
d թիվ որ ցանկացած ո բնական թվի համար։

352

an = a1 +d (n – 1)

353

Ցանկացած {an} թվաբանական պրոգրեսիայում ո – րդ անդամը an -ը այդ պրոգրեսի a1 առաջին անդամով և d տարբերությամբ արտահայտվում է
an = a1 +d (n – 1)
Բանաձևով որը կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիայի ո – րդ անադամի բանաձև։

354
5,

1. Նրանց երկարությունների հարաբերությունը:
3. Այն եռանկյունները որոնց երկու անկյուններընման մյուս եռանկյան անկյունների ապա կոչվում են նման եռանկյուններ:
4. k թիվը, որը հավասար է նման եռանկյունների համապատասխան կողմերի հարաբերությանը, կոչվում է նմանության գործակից:
5. Երկու նման եռանկյունների մակերեսների հարաբերությունը հավասար է նմանության գործակցի քառակուսուն:
6. Եռանկյունների նմանության հայտանիշը դա երբ մի եռանկյան երկու անկյունները հավասար են մյուս եռանկյան անկյունների:
7. Այն եռանկյունները որի երկու կողմերը համեմատական մյուս եռանկյան երկու կողմերին ուրեմն այդ եռանկյունները նման են իրար:
8. Այն եռանկյունը որի երեք կողմերը համեմատական մյուս եռանկյան երեք կողմերին ուրեմն նրանք նման են:
9. Եռանկյան միջնագիծը զուգահեռ է նրա կողմերից մեկի և այդպիսի եռանկյունը հավասար է մի կողմի կեսին:
11. Նման եռանկյան պարագծի հարաբերությունը նմանության գործաքցին է հավասար :

Ա) Երկու նման եռանկյունների բարձրությունների հարաբերությունը նման կողմերին հավասար է նմանությանը:

Բ) Եռանկյան միջին ուղիղը զուգահեռ է նրա կողմերից մեկին և հավասար է այդ կողմի կեսին :

Գ) Երկու նման եռանկյունների անկյունների հարաբերակցությունը հավասար է նմանության գործակցին:

14. Ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ անկյան գագաթից վերցված բարձրությունը երկու ուղիղ հատվածների:

15. Ուղղանկյուն եռանկյան ուղիղ գագաթից անկյան տարած բարձրությունը համեմատական միջին և երկու հատվածների ,որոնց տրոհում է ներքնաձիգը այդ բարձրության հետ հատվելիս:

16. Թեորեմը իրենից ներկայացնում է որ եռանկյան անկյան կիսորդը տրոհում է երկու հատվածի , որոնք համեմատական է կից կողմերին:

16

17

18

19

20. Եթե շրջանագծի երկու լարերը հատվում են ուրեմն մեկ լարի հատվածների արտադրյալը հավասար է մյուս լարի հատվածների արտադրյալին:

21.Քանի որ, ցանկացած եռանկյան անկյունների կիսորդները հատվում են եռանկյան ներսում, ապա ներգծյալ շրջանագծի կենտրոնը միշտ գտնվում է եռանկյան ներսում։

22. Եթե երկու ուղիղները հատվում մի քանի զուգահեռ ուղղի ուրեմն ուղիղներից մեկի վրա բաժանվում են հատվածների որոնք ստացվում են համեմատական մյուս ուղղի վրա բաժանած հատվածները: